Question

5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2^x-3．
（1）求f（3）+f（-1）的值；
（2）求f（x）在R上的解析式；
（3）画出函数f（x）的图象，并写出函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）计算f（3），f（1），再根据奇偶性得出f（-1）即可计算；
（2）根据f（x）=-f（-x）得出f（x）在（-∞，0]上的解析式，从而得出f（x）在定义域上的解析式；
（3）根据图象得出f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）f（3）=2³-3=5，f（1）=2-3=-1，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-1）=-f（1）=1，
∴f（3）+f（-1）=5+1=6．
（2）当x＜0，-x＞0，则f（-x）=2^-x-3，
∴f（x）=-f（-x）=3-2^-x，
又f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，
∴f（x）在R上的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-3，x＞0\\ 0，x=0\\ 3-{2^{-x}}，x＜0\end{array}\right.$．
（3）图象如图所示．

由图可得，函数的单调递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，函数解析式的求解，属于中档题．