Question

15．已知函数f（x）=e^x+2x-a，a∈R，若曲线y=sinx上存在点（x₀，y₀），使得f（f（y₀））=y₀，则实数a的取值范围是[-1+e^-1，1+e]．

Answer 1

分析 根据题意，由正弦函数的性质分析可得：y=sinx上存在点（x₀，y₀），可得y₀=sinx₀∈[-1，1]．函数f（x）=e^x+2x-a在[-1，1]上单调递增．利用函数f（x）的单调性可以证明f（y₀）=y₀．令函数f（x）=e^x+2x-a=x，化为a=e^x+x．令g（x）=e^x+x （x∈[-1，1]）．利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：曲线y=sinx上存在点（x₀，y₀），
∴y₀=sinx₀∈[-1，1]．
函数f（x）=e^x+2x-a在[-1，1]上单调递增．
下面证明f（y₀）=y₀．
假设f（y₀）=c＞y₀，则f（f（y₀））=f（c）＞f（y₀）=c＞y₀，不满足f（f（y₀））=y₀．
同理假设f（y₀）=c＜y₀，则不满足f（f（y₀））=y₀．
综上可得：f（y₀）=y₀．
令函数f（x）=e^x+2x-a=x，化为a=e^x+x．
令g（x）=e^x+x（x∈[-1，1]）．
g′（x）=e^x+1＞0，∴函数g（x）在x∈[-1，1]单调递增．
∴e^-1-1≤g（x）≤e+1．
∴a的取值范围是[-1+e^-1，e+1]；
故答案为：[-1+e^-1，e+1]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及正弦函数的图象和性质，关键是将原问题转化为f（x）=x在[-1，1]上有解的问题．