Question

4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，$\frac{xf'（x）+f（x）}{x^2}＞0$（x＞0），则不等式x²f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 不能式等价于f（x）＞0，x≠0的解集，构造函数g（x）=xf（x），求出导函数，利用导函数，结合奇函数的性质得出f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．

解答 解：不等式x²f（x）＞0的解集也是f（x）＞0，x≠0的解集，
令g（x）=xf（x），可知g（x）在定义域内为偶函数，
当x＞0时，g'（x）=xf'（x）+f（x）＞0，g（1）=0，
∴当x＞1时，g（x）＞0，f（x）＞0，
根据奇函数定义可知，
当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f（x）＞0，
∴f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．
故答案为（-1，0）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的构造和导函数的应用，难点是对题意的准确理解和对函数的构造．