Question

16．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量X的分布列；
（3）一次取球所得计分介于20分到40分之间的概率．

Answer 1

分析 （1）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P（A）=$\frac{{∁}_{5}^{3}×{∁}_{2}^{1}×{∁}_{2}^{1}×{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$．
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．由P（B）=$\frac{{∁}_{5}^{1}{∁}_{2}^{2}{∁}_{8}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{3}$，可得P（A）=1-P（B）．
（2）由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5．利用互斥事件与独立事件的概率计算公式即可得出．
（3）“一次取球所得计分介于（20分）到4（0分）之间”记为事件C，可得P（C）=P（X=3或X=4）=P（X=3）+P（X=4）．

解答 解：（1）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P（A）=$\frac{{∁}_{5}^{3}×{∁}_{2}^{1}×{∁}_{2}^{1}×{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{3}$．
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件．
因为P（B）=$\frac{{∁}_{5}^{1}{∁}_{2}^{2}{∁}_{8}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{3}$，所以P（A）=1-P（B）=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$．…（4分）
（2）由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5．
P（X=2）=$\frac{{∁}_{2}^{2}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{2}^{1}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$；
P（X=3）=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{4}^{1}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{2}{15}$；
P（X=4）=$\frac{{∁}_{6}^{2}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{6}^{1}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$；
P（X=5）=$\frac{{∁}_{8}^{2}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{8}^{1}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{8}{15}$．
所以随机变量X的概率分布列为：

X	2	3	4	5
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{8}{15}$

…（9分）
（3）“一次取球所得计分介于（20分）到4（0分）之间”记为事件C，则
P（C）=P（X=3或X=4）=P（X=3）+P（X=4）=$\frac{2}{15}$+$\frac{3}{10}$=$\frac{13}{30}$．…（12分）

点评 本题考查了互斥事件与独立事件的概率计算公式、对立事件、随机变量的分布列及其数学期望、互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．