Question

11．设偶函数f（x）=$cos（\frac{π}{ω}x-φ）$，其中ω＞0，0≤φ＜2π．
（1）求φ的值；
（2）若函数f（x）在（0，3）上单调递减，当ω取得最小值时，求f（1）+f（2）+…+f（2017）的值；
（3）在（2）的条件下，若g（x）=-2f²（x-$\frac{3}{2}$）-f（x+$\frac{3}{2}$），且对任意的x₁，x₂∈[-$\frac{3}{2π}$，$\frac{11}{2π}$]，8|g（x₁）-g（x₂）|≤$\sqrt{3}$m+3恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的奇偶性，求得φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用余弦函数的周期性，可得f（x）的周期性，从而求得f（1）+f（2）+…+f（2017）的值．
（2）正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域，利用二次函数的性质，求得g（x）的最大值，再根据此最大值小于或等于$\sqrt{3}$m+3，求得m的范围．

解答 解：（1）∵偶函数f（x）=$cos（\frac{π}{ω}x-φ）$，其中ω＞0，0≤φ＜2π，∴φ=π．
（2）由（1）可得f（x）=-cos（$\frac{π}{ω}$x ），函数f（x）在（0，3）上单调递减，
∴$\frac{π}{ω}•3$≤π，求得ω≥3，
故ω的最小值为3，此时，f（x）=-cos（$\frac{π}{3}$x ）的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6，
且f（1）+f（2）+…+f（6）=-$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）+1+（$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）+（-1）=0，
f（1）+f（2）+…+f（2017）=336•[f（1）+f（2）+…+f（6）]+f（2017）
=336•0+f（1）=-$\frac{1}{2}$．
（3）在（2）的条件下，$g（x）=-2{f^2}（x-\frac{3}{2}）-f（x+\frac{3}{2}）$=-2•${cos}^{2}[\frac{π}{3}（x-\frac{3}{2}）]$+cos$\frac{π}{3}$（x+$\frac{3}{2}$）
=-2${sin}^{2}\frac{π}{3}x$-sin$\frac{π}{3}$x，
∵对任意的${x_1}，{x_2}∈[-\frac{3}{2π}，\frac{11}{2π}]$，∴$\frac{π}{3}$x₁、$\frac{π}{3}$x₂∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{6}$]，
∴sin$\frac{π}{3}$x∈[-sin$\frac{1}{2}$，1]，故g（x）=-2${sin}^{2}\frac{π}{3}x$-sin$\frac{π}{3}$x=-2${（sin\frac{π}{3}x+\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{8}$，
当sin$\frac{π}{3}$x=-$\frac{1}{4}$时，g（x）取得最大值为$\frac{1}{8}$，当sin$\frac{π}{3}$x=1时，g（x）取得最小值为-3．
再根据$8|g（{x_1}）-g（{x_2}）|≤\sqrt{3}m+3$恒成立，可得|g（x₁）-g（x₂）|的最大值为$\frac{1}{8}$+3=$\frac{25}{8}$，
故有8•$\frac{25}{8}$≤$\sqrt{3}$m+3，求得m≥$\frac{22\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，二次函数的性质，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．