Question

3．已知函数f（x）=2x³-3ax²，a∈R．
（1）若a=2，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）对任意的x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）≥f'（x₂）（其中f'（x）为函数f（x）的导数）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，求出切线方程即可；
（2）问题转化为f（x₁）_min≥f′（x₂）_min，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出f（x）的最小值以及f′（x）的最小值，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=2x³-6x²，
f′（x）=6x²-12x，f′（1）=-6，f（1）=-4，
故f（x）在x=1处的切线方程为：y=-6x+2；
（2）对任意的x₁∈[0，2]，总存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）≥f'（x₂）成立，
得f（x₁）_min≥f′（x₂）_min，f′（x）=6x（x-a），
①a≤0时，f（x）在[0，2]递增，故f（x）在[0，2]的最小值是0，
f′（x）在[0，1]的最小值是0，f（x₁）_min≥f′（x₂）_min成立；
②0＜a＜2时，f（x）在[0，a]递减，在[a，2]递增，
故f（x）在[0，2]的最小值是f（a）=-a³，f′（x）在[0，1]的最小值是f′（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{3}{2}$a²，
由f（x₁）_min≥f′（x₂）_min得：-a³≥-$\frac{3}{2}$a²，得0＜a≤$\frac{3}{2}$；
③a≥2时，f（x）在[0，2]递减，故f（x）在[0，2]的最小值是f（2）=16-12a，
f′（x）在[0，1]的最小值是f′（1）=6-6a，
由f（x₁）_min≥f′（x₂）_min得：16-12a≥6-6a，无解，
综上，a的范围是（-∞，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．