Question

13．椭圆的中心在原点，一个焦点为$F（{0，\sqrt{50}}）$且该椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为$\frac{1}{2}$，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 先根据焦点坐标得出a²-b²=50，根据直线方程求出AB中点为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．再设而不求的方法求得AB的斜率与中点坐标之间的关系式，求出a²=3b²，联解两式即可得到该椭圆的标准方程．

解答 解：由题意可知：椭圆的焦点在y轴上，$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=$\sqrt{50}$，
则a²-b²=50，①
又设直线3x-y-2=0与椭圆交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中点（x₀，y₀）
∵x₀=$\frac{1}{2}$，∴代入直线方程得y₀=$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{y}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得$\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=0，
∴AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$•$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=3
∵$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=-1，∴a²=3b²，②
联解①②，可得a²=75，b²=25，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{75}=1$；
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{75}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，考查计算能力，属于中档题．