Question

设函数f（x）=x

a-x2

-

1

2

对于任意x∈[-1，1]，都有f（x）≤0成立，则实数a的范围

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：问题可化为4ax²≤4x⁴+1恒成立，当x=0时，上式显然成立，当x∈[-1，0）∪（0，1]时，4ax²≤4x⁴+1可化为a≤

4x4+1

4x2

，只需求

4x4+1

4x2

在x∈[-1，0）∪（0，1]时的最小值即可，由基本不等式可得．

解答： 解：由f（x）≤0可得x²（a-x²）≤

1

4

，即4ax²≤4x⁴+1，
当x=0时，上式显然成立，
当x∈[-1，0）∪（0，1]时，
4ax²≤4x⁴+1可化为a≤

4x4+1

4x2

，
故只需求

4x4+1

4x2

在x∈[-1，0）∪（0，1]时的最小值即可，
由基本不等式可得

4x4+1

4x2

=x²+

1

4x2

≥2

x2• 1 4x2

=1，
当且仅当x²=

1

4x2

即x=±

2

2

时取等号，
∴

4x4+1

4x2

在x∈[-1，0）∪（0，1]时的最小值为1，
故a≤1
故答案为：a≤1

点评：本题考查不等式恒成立问题，转化为基本不等式求最值是解决问题的关键，属中档题．