Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上存在点P使线段PF₁与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段PF₁的中点，则该椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设线段PF₁的中点为M，另一个焦点F₂，利用OM是△F₁PF₂的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF₁的三边之长，使用勾股定理求离心率．

解答： 解：设线段PF₁的中点为M，另一个焦点F₂，
由题意知，OM=b，又OM是△F₁PF₂的中位线，
∴OM=

1

2

PF₂=b，PF₂=2b，由椭圆的定义知  PF₁=2a-PF₂=2a-2b，
又 MF₁=

1

2

PF₁=

1

2

（2a-2b）=a-b，又OF₁=c，
直角三角形OMF₁中，由勾股定理得：（a-b）²+b²=c²，又a²-b²=c²，
可得2a=3b，故有4a²=9b²=9（a²-c²），由此可求得离心率 e=

c

a

=

5

3

，
故答案为：

5

3

．

点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．