Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求直线PC与平面PAD所成角的余弦值；
（2）求证：PC∥平面EBD；
（3）求二面角A-BE-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立如图所示的直角坐标系B-xyz，设BC=a，求出相关点的坐标，利用CD⊥PD．通过数量积为0，求出a，求出平面PAD法向量，直线PC的向量，利用向量的数量积求解直线与面PAD所成角余弦值．
（2）连结AC交BD于G，连结EG证明PC∥EG，利用直线与平面平行的判定定理证明PC∥平面EBD．
（3）求出平面BED的法向量，结合平面ABE的法向量．利用向量的数量积求解二面角A-BE-D的余弦值即可．

解答： 解：（1）建立如图所示的直角坐标系B-xyz．…（1分）
设BC=a，则A（0，3，0），P（0，0，3），D（3，3，0），C(a，0，0)，

CD

=(3-a，3，0)，

PD

=(3，3，-3)，
∴CD⊥PD．
∴

CD

•

PD

=0，即3(3-a)+9=0.
∴a=6．…（2分）
设平面PAD法向量为

n

=(x，y，1)，
则

n • PD =(x，y，1)(3，3，-3)=0 n • AD =(x，y，1)(3，0，0)=0

⇒

x=0 y=1

，
所以

n

=(0，1，1)…（3分）
设直线PC与面PAD所成角为θ，sinθ=

| PC • n |

| PC |•| n |

=

|(6，0，-3)(0，1，1)|

62+(-3)2 • 2

=

10

10

…（4分）cosθ=

1-sin2θ

=

1-( 10 10 )2

=

3 10

10

…（5分）
所以，直线PC与平面PAD所成角的余弦值

3 10

10

．…（6分）
（2）证明：连结AC交BD于G，连结EG，
∴

AG

GC

=

AD

BC

=

1

2

，又

AE

EP

=

1

2

，
∴

AG

GC

=

AE

EP

，
∴PC∥EG．…（8分）
又EG?平面EBD，PC?平面EBD…（9分）
∴PC∥平面EBD．…（10分）
（3）设平面BED的法向量为

n1

=(x，y，1)，因为

BE

=(0，2，1)，

BD

=(3，3，0)，
由

n1 • BE =0 n1 • BD =0

可得

2y+1=0 3x+3y=0

，解得

x= 1 2 y=- 1 2 .

于是

n1

=(

1

2

，-

1

2

，1)．…(11分)，
又因为平面ABE的法向量

n2

=(1，0，0)，…(12分)
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

1

6

=

6

6

．…(13分)
∴二面角A-BE-D的余弦值为

6

6

．…(14分)．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．