Question

数列{a_n}中，a₁=2，对于任意m、n∈N⁺，都有a_m+n=a_m+a_n+2，S_n是{a_n}的前n项和，则

lim

n→∞

nan

Sn+1

=

 

．

Answer 1

考点：数列的极限,数列的求和,数列递推式

专题：导数的概念及应用

分析：对于任意m、n∈N⁺，都有a_m+n=a_m+a_n+2，令m=1，则a_n+1=a_n+2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：a_n，S_n．再利用数列极限的运算法则即可得出．

解答： 解：∵对于任意m、n∈N⁺，都有a_m+n=a_m+a_n+2，
令m=1，则a_n+1=a_n+2，
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=2+2（n-1）=2n，S_n=2n+

n(n-1)

2

×2=n²+n．
∴

lim

n→∞

nan

Sn+1

=

lim

n→∞

2n2

n2+n+1

=

lim

n→∞

2

1+ 1+n n2

=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．