Question

15．已知点$P（2，2\sqrt{2}）$在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，设抛物线C的焦点为F，准线为l，
（1）求F的坐标和准线l的方程；
（2）若过点F的直线l₁与抛物线C交于A，B两点，且|AB|=8，求直线方程．

Answer 1

分析 （I）先利用点$P（2，2\sqrt{2}）$在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，得出抛物线的方程，进而求得F的坐标和准线l的方程；
（2）设AB的倾斜角为θ，则$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$=8，所以k=tanθ=±1，直线l的方程是x±y-1=0．

解答 解：（1）∵点$P（2，2\sqrt{2}）$在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，
∴8=4p，∴p=2，
∴抛物线C：y²=4x，F（1，0），l：x=-1；
（2）∵过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，|AB|=8，
设AB的倾斜角为θ，
则$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$=8，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴k=tanθ=±1，
∴直线AB的方程是x±y-1=0．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及抛物线上点到焦点的距离，常用抛物线的定义来解决．