Question

设F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，R，S，T为该抛物线上三点，若

FR

+

FS

+

FT

=

0

，且|

FR

|+|

FS

|+|

ST

|=6．
（Ⅰ）求抛物线y²=2px的方程；
（Ⅱ）M点的坐标为（m，0）其中m＞0，过点F作斜率为k₁的直线与抛物线交于A，B两点，A，B两点的横坐标均不为m，连接AM、BM并延长交抛物线于C、D两点，设直线CD的斜率为k₂．

k1

k2

=4，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用

FR

+

FS

+

FT

=

0

，且|

FR

|+|

FS

|+|

ST

|=6，结合雪亮知识及抛物线的定义，即可求抛物线y²=2px的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），利用

k1

k2

=4，可得y₁+y₂=

1

4

（y₃+y₄）．设AC所在直线方程为x=ty+m，代入抛物线方程，求出y₁y₃=-4m，同理y₂y₄=-4m，进而可得y₁y₂=-m，设AB所在直线方程为x=ty+1，代入抛物线方程，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）设R（x_R，y_R），S（x_S，y_S），T（x_T，y_T），则
∵

FR

+

FS

+

FT

=

0

，
∴x_R+x_S+x_T=

3

2

p，
∴|

FR

|+|

FS

|+|

ST

|=x_R+x_S+x_T+

3

2

p=3p=6，
∴p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则
k₁=

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

，k₂=

4

y3+y4

，
∵

k1

k2

=4，
∴y₁+y₂=

1

4

（y₃+y₄）．
设AC所在直线方程为x=ty+m，代入抛物线方程，可得y²-4ty-4m=0，
∴y₁y₃=-4m，
同理y₂y₄=-4m，
∴y₁+y₂=

1

4

（

-4m

y1

+

-4m

y2

），
∴y₁y₂=-m，
设AB所在直线方程为x=ty+1，代入抛物线方程，可得y²-4ty-4=0，
∴y₁y₂=-4，
∴m=4．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用韦达定理是关键．