Question

4．设抛物线x²=2py （P＞0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，A，B，M的横坐标分别为X_A，X_B，X_M则（　　）

• A． X_A+X_B=2X_M
• B． X_A•X_B=X${\;}_{M}^{2}$
• C． $\frac{1}{{X}_{A}}$+$\frac{1}{{X}_{B}}$=$\frac{2}{{X}_{M}}$
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，对抛物线的方程进行求导，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程，联立求得2x_M=x_A+x_B，即可得出结论．

解答 解：由x²=2py得y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，得y′=$\frac{x}{p}$，
所以直线MA的方程为y+2p=$\frac{{x}_{A}}{p}$（x-x_M），直线MB的方程为y+2p=$\frac{{x}_{B}}{p}$（x-x_M），
所以，$\frac{{{x}_{A}}^{2}}{2p}$+2p=$\frac{{x}_{A}}{p}$（x_A-x_M）①，$\frac{{{x}_{B}}^{2}}{2p}$+2p=$\frac{{x}_{A}}{p}$（x_B-x_M）②
由①、②得2x_M=x_A+x_B．
故选A．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生知识的灵活运用的能力和基本的计算的能力，属于中档题．