如图，过点
的两直线与抛物线
相切于A、B两点， AD、BC垂直于直线
，垂足分别为D、C．
（1）若
，求矩形ABCD面积；
（2）若
，求矩形ABCD面积的最大值．
（1）14 （2）
解析试题分析：（1）当
=1时，假设切线为y=kx+1,联立
.令判别式为零可求得k及切点坐标.即可求出面积.（2）假设切点，对抛物线求导求出斜率写出切线方程，代入定点(0, )求出切点坐标（含）.写出面积的表达式.根据的范围求出S的最大值.本题是常见的直线与抛物线的关系的题型.设切点，联立方程找出关于切点的等式.通过对参数的分类求出相应的最大值.
试题解析：（1）时，
（详细过程见第（2）问） 6分
（2）设切点为
，则
,
因为
，所以切线方程为
, 即
，
因为切线过点
，所以
，即
，于是
．
将代入得
．
(若设切线方程为
，代入抛物线方程后由
得到切点坐标，亦予认可．)
所以
， 所以矩形面积为
，
．
所以当
时，
；当
时，
；
故当
时，S有最大值为． 15分
考点：1.直线与抛物线的关系.2.特殊到一般的思维方式.3.导数求最值.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为
的正方形（记为
）
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）设点
是直线
与轴的交点，过点的直线
与椭圆相交于
两点，当线段
的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知圆锥曲线
的两个焦点坐标是
，且离心率为
；
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设曲线
表示曲线的
轴左边部分，若直线
与曲线相交于
两点，求
的取值范围；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，如果
，且曲线上存在点
，使
，求
的值．
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已知椭圆
的离心率为
，其左焦点
到点
的距离为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点
的直线与椭圆交于不同的两点
、
，则
内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的中心在原点
,离心率
,右焦点为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的上顶点为
,在椭圆上是否存在点
,使得向量
与
共线?若存在,求直线
的方程;若不存在,简要说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知点
（
，
是常数），且动点
到
轴的距离比到点
的距离小
.
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）（i）已知点
，若曲线
上存在不同两点
、
满足
，求实数的取值范围；
（ii）当
时，抛物线
上是否存在异于、的点
，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的焦点为
，
，且经过点
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设过的直线
与椭圆交于
、
两点，问在椭圆上是否存在一点
，使四边形
为平行四边形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，点
分别是椭圆C:
的左、右焦点，过点
作
轴的垂线，交椭圆
的上半部分于点
，过点
作
的垂线交直线
于点
.
（1）如果点的坐标为（4,4），求椭圆的方程；
（2）试判断直线
与椭圆的公共点个数，并证明你的结论.
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，
为坐标原点，动直线
与
交于不同两点
·
为常数；
的点
的轨迹方程。