Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁F₂，离心率e=

2

，且过（4，-

10

），
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线x=3与双曲线交于M，N两点，求证：F₁M⊥F₂M．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得e=

c

a

=

2

，从而设双曲线的标准方程为x²-y²=a²，代入点（4，-

10

），能求出双曲线的标准方程．
（2）由（1）得F₁（-2

3

，0），F₂（2

3

，0），M（3，

3

），N（3，-

3

），由此能证明F₁M⊥F₂M．

解答： 解：（1）∵双曲线的左、右焦点分别为F₁F₂，
离心率e=

2

，且过（4，-

10

），
∴e=

c

a

=

2

，∴c²=2a²，∴b²=c²-a²=a²，
设双曲线的标准方程为x²-y²=a²，
代入点（4，-

10

），得a²=16-10=6，
∴双曲线的标准方程为x²-y²=6．…（6分）
（2）由（1）得F₁（-2

3

，0），F₂（2

3

，0），
M（3，

3

），N（3，-

3

），
∴kF1M=

3

3+2 3

，∴kF1M=

3

3-2 3

，
∴kF1M•kF1M=-1，∴F₁M⊥F₂M．…（12分）

点评：本题考查双曲线标准方程的求法，考查两直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．