Question

已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+m+2（a＞0），
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=0有三个互不相同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，求出单调区间，由于f（x）在[-1，1]内没有极值点，则[-1，1]是单调区间，且为减区间，列出不等式，解出即可；
（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=0即x³+2x²-4x+m+2=0，-m-2=x³+2x²-4x，有三个互不相同的解，画出曲线
y=x³+2x²-4x，直线y=-m-2，求出极值，令-m-2介于极小值和极大值之间．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a），（a＞0），
f′（x）＞0得x＞

a

3

或x＜-a；f′（x）＜0得-a＜x＜

a

3

．
由于f（x）在[-1，1]内没有极值点，
则[-1，1]是单调区间，且为减区间，
则[-1，1]⊆（-a，

a

3

），故-a＜-1＜1＜

a

3

，
即有a＞3；
（Ⅱ）当a=2时，方程f（x）=0即x³+2x²-4x+m+2=0，
-m-2=x³+2x²-4x，有三个互不相同的解，
画出曲线y=x³+2x²-4x，直线y=-m-2，
由于y′=3x2+4x-4=0，解得x₁=-2，x₂=

2

3

，
在x=-2处的导数左正右负，为极大值点，极大值为8；
在x=

2

3

处的导数左负右正，为极小值点，极小值为-

40

27

．
则有-

40

27

＜-m-2＜8，解得-10＜m＜-

14

27

．
故实数m的取值范围是(-10，-

14

27

)．

点评：本题考查函数的导数的应用：求单调区间和求极值，考查方程的根的问题转化为函数的图象的交点问题，考查数形结合的思想方法，属于中档题．