Question

若数列A_n={a_n}：a₁，a₂，…，a_n（n≥2）满足|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，…，n-1），则称数列A_n为E数列，记S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）写出一个满足a₁=a₉=0，且S（A₉）＞0的E数列A₉；
（Ⅱ）若a₁=13，n=2000，证明：E数列A_n是递增数列的充要条件是a_n=2012．

Answer 1

考点：数列的应用,必要条件、充分条件与充要条件的判断,数列与不等式的综合

专题：证明题,新定义,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）对照E数列的条件和求和概念，即可得到；
（Ⅱ）可先证明必要性：由递增数列的定义，得到A_n是首项为13，公差为1的等差数列．从而有a₂₀₀₀=
2012；再证充分性：由新定义推出a₂₀₀₀≤a₁+1999，又因为a₁=13，a₂₀₀₀=2012，所以a₂₀₀₀=a₁+1999．得证．

解答： （Ⅰ）解：0，1，2，1，0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A₉．
（答案不唯一，0，1，0，1，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A₉）
（Ⅱ）证明：必要性：因为E数列A₂₀₀₀是递增数列，
所以a_k+1-a_k=1（k=1，2，…，1999）．            
所以A₂₀₀₀是首项为13，公差为1的等差数列．
所以a₂₀₀₀=13+（2000-1）×1=2012．
充分性：由于a₂₀₀₀-a₁₉₉₉≤1，
a₁₉₉₉-a₁₉₉₈≤1
…
a₂-a₁≤1                                
所以a₂₀₀₀-a₁≤1999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999，
又因为a₁=13，a₂₀₀₀=2012，
所以a₂₀₀₀=a₁+1999．
故a_n+1-a_n=1＞0（k=1，2，…，1999）即A_n是递增数列．
综上，结论得证．

点评：本题考查新定义及理解，考查数列的运用，充分必要条件的证明，解题的关键在于对新定义的正确运用，属于中档题．