Question

4．设关于x的方程1g（ax）=21g（x-1）．
（1）当a=2时，请解该方程；
（2）讨论当a取什么值时，方程有解，并求出它的解．

Answer 1

分析 （1）利用a=2化简方程，然后求解即可．
（2）对数方程lgax=2lg（x-1）化为不等式组，可得x＞1，a＞0，x²-（2+a）x+1=0．令f（x）=x²-（2+a）x+1．利用二次函数的性质、判别式即可得出．

解答 解：（1）当a=2时，方程lgax=2lg（x-1）化为2x=（x-1）²，解得x=2±$\sqrt{3}$，经过验证，x=2-$\sqrt{3}$不满足条件，舍去．
∴该方程的解为x=2+$\sqrt{3}$．
（2）对数方程lgax=2lg（x-1）化为$\left\{\begin{array}{l}{ax＞0}\\{ax=（x-1）^{2}}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，∴x＞1，a＞0，x²-（2+a）x+1=0．
令f（x）=x²-（2+a）x+1．
而f（1）=-a＜0，因此只要$\frac{2+a}{a}$＞1，△=（2+a）²-4≥0或$\frac{2+a}{2}$=1，△=（2+a）²-4＞0即可，解得a＞0．
综上可得：当a＞0时，该对数方程有解．

点评 本题考查了对数的运算性质、一元二次方程的解法与判别式的关系、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．