Question

【题目】已知函数，

（Ⅰ）若在函数的定义域内存在区间，使得该函数在区间上为减函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值或取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）对函数求导，由函数在区间上为减函数，等价于在上有解，对进行分类讨论，从而可得实数的取值范围；（Ⅱ）根据导数的几何意义求得切线的方程，由切线与曲线有且只有一个公共点，等价于方程在上有且只有一解，从而设，则在上有且只有一个零点，求出函数有零点，然后讨论当时，时，利用导数研究函数的单调性，利用函数的零点，即可求出实数的值或取值范围．

详解：（Ⅰ）因为.

依题意知在上有解．

当时显然成立；

当时，由于函数的图象的对称轴，

故需且只需，即，解得，故．

综上所述，实数的取值范围为．

（Ⅱ）因为，，故切线的方程为，即．

从而方程在上有且只有一解．

设，则在上有且只有一个零点．

又，故函数有零点．

∵．

当时，，又不是常数函数，故在上单调递增．

所以函数有且只有一个零点，满足题意．

当时，由，得或，且．

由，得或；

由，得．

所以当在上变化时，，的变化情况如下表：

	增	极大值	减	极小值	增

根据上表知．

而函数．

所以，故在上，函数又存在一个零点，不满足题意．

综上所述，．