Question

设函数f（x）=ln|x|-x²+ax．
（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；
（Ⅱ）若x₁、x₂为函数f（x）的两个极值点，且，试求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）设函数f（x）在点C（x₀，f（x₀））（x₀为非零常数）处的切线为l，若函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方，试探求x₀的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）=ln|x|-x²+ax的定义域为{x|x∈R，x≠0}．
当x＞0时，f（x）=lnx-x²+ax，∴； …（1分）
当x＜0时，f（x）=ln（-x）-x²+ax，∴； …（3分）
综上可得 ．…（4分）
（Ⅱ）∵=，x₁、x₂为函数f（x）的两个极值点，
∴x₁、x₂为方程-2x²+ax+1=0的两根，所以，
又∵，∴a=-1．…（5分）
此时，，
由f'（x）≥0得，
当x＞0时，，此时；
当x＜0时，（2x-1）（x+1）≥0，∴x≤-1或x≥，此时x≤-1．
∴当f'（x）≥0时，x≤-1或．…（7分）
当f'（x）≤0时，同理解得．…（8分）
综上可知a=-1满足题意，且函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1]和．…（9分）
（Ⅲ）∵，又，
∴切线l的方程为，
即（x₀为常数）．…（10分）
令=，=，（11分）
当x₀＞0时，x、g'（x）、g（x）的关系如下表：

x				（0，x0）	x0	（x0，+∞）
g'（x）	+	0	-	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘	↗	极大值	↘

当x₀＜0时，x、g'（x）、g（x）的关系如下表：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，0）
g'（x）	+	0	-	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘	↗	极大值	↘

函数f（x）=ln|x|-x²+ax的图象恒在直线l的下方或直线l上，
等价于g（x）≤0对x≠0恒成立．
∴只需g（x₀）≤0和同时成立．…（12分）
∵g（x₀）=0，∴只需．
下面研究函数，
∵，
∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，
注意到m（1）=0，∴当且仅当0＜x≤1时，m（x）≤0．…（13分）
∴当且仅当时，，
由解得或．
∴x₀的取值范围是．…（14分）
分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，分类讨论，将函数化简，再求导函数即可；
（Ⅱ）根据x₁、x₂为函数f（x）的两个极值点，利用韦达定理，可求a的值，即得到函数解析式，求导函数，利用f'（x）≥0，可得函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）确定切线l的方程，再构造新函数g（x），求导数，确定函数的单调性与极值，从而函数f（x）=ln|x|-x²+ax的图象恒在直线l的下方或直线l上，等价于g（x）≤0对x≠0恒成立，即只需g（x₀）≤0和，由此可得x₀的取值范围．
点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想．