Question

如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6．
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）求凸多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析：（1）根据AE⊥平面CDE的性质可知AE⊥CD，而CD⊥AD，AD∩AE=A，根据线面垂直的判定定理可知CD⊥平面ADE，而AB∥CD，，从而AB⊥平面ADE；
（2）在Rt△ADE中，求出AE，AD，DE，过点E作EF⊥AD于点F，根据AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，可知EF⊥AB，而AD∩AB=A，从而EF⊥平面ABCD，因AD•EF=AE•DE，可求出EF，又正方形ABCD的面积S_ABCD=36，则VABCDE=VE-ABCD=

1

3

SABCD•EF=

1

3

×36×

3 3

2

=18

3

，得到结论．

解答：（1）证明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD．
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
∵AB∥CD，
∴AB⊥平面ADE．
（2）解：在Rt△ADE中，AE=3，AD=6，
∴DE=

AD2-AE2

=3

3

．
过点E作EF⊥AD于点F，
∵AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，
∴EF⊥AB．
∵AD∩AB=A，
∴EF⊥平面ABCD．
∵AD•EF=AE•DE，
∴EF=

AE•DE

AD

=

3×3 3

6

=

3 3

2

．
又正方形ABCD的面积S_ABCD=36，
∴VABCDE=VE-ABCD=

1

3

SABCD•EF=

1

3

×36×

3 3

2

=18

3

．
故所求凸多面体ABCDE的体积为18

3

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．