Question

给出下列命题：
①函数y=cos（

2

3

x+

π

2

）是奇函数；
②若sinθ+cosθ=

7

13

，θ∈（0，π），则tanθ=-

12

5

；
③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；
④x=

π

8

是函数y=sin（2x+

5π

4

）的一条对称轴；
⑤函数y=sin（2x+

π

3

）的图象关于点（

π

12

，0）成中心对称．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,三角函数的图像与性质

分析：由诱导公式和正弦、余弦函数的奇偶性，即可判断①；运用同角三角函数的关系式，注意角的范围，分别求出sinθ，cosθ，从而得到tanθ，即可判断②；举反例，α=

π

3

，β=

7π

3

，求出正切值，即可判断③；
令对称轴方程为2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，求出x，令x=

π

8

，求出k，即可判断④；求出对称中心，求出k，注意为整数，即可判断⑤．

解答： 解：①函数y=cos（

2

3

x+

π

2

）=-sin

2x

3

是奇函数，故①正确；
②若sinθ+cosθ=

7

13

，θ∈（0，π），则两边平方得，2sinθcosθ=-

120

169

＜0，
则sinθ＞0，cosθ＜0，sinθ-cosθ＞0，且sinθ-cosθ=

17

13

，则sinθ=

12

13

，cosθ=-

5

13

，
tanθ=-

12

5

，故②正确；
③若α，β是第一象限角且α＜β，比如α=

π

3

，β=

7π

3

则tanα=tanβ=

3

，故③错；
④函数y=sin（2x+

5π

4

）的对称轴方程为2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，x=

kπ

2

-

3π

8

，k∈Z，
k=1时，x=

π

8

，故④正确；
⑤函数y=sin（2x+

π

3

）的图象的对称中心为（

kπ

2

-

π

6

，0），
k∈Z，

kπ

2

-

π

6

=

π

12

，k=

1

2

∉Z，故⑤错．
故答案为：①②④．

点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，考查同角三角函数的关系式和诱导公式、正弦函数的图象的对称性和单调性，属于基础题．