Question

【题目】已知动直线垂直于轴，与椭圆交于两点，点在直线上，.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）直线与椭圆相交于，与曲线相切于点，为坐标原点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

（1）设出两点的坐标，根据对称性得到点坐标，利用平面向量数量积的坐标运算化简，求得两点坐标的关系，将点坐标代入椭圆方程，化简求得点的轨迹方程.

（2）当直线斜率不存在时，根据椭圆的几何性质求得.当直线的斜率存在时，设出直线的方程，代入方程，利用判别式为零列出关系.将代入方程，化简后写出韦达定理，计算出的表达式，并利用换元法和二次函数的性质，求得的取值范围.

（1）设，则由题知，，

,，

由在椭圆上，得，所以，

故点的轨迹的方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，为的左（或右）顶点，也是的左（或右）焦点，所以；

当直线的斜率存在时，设其方程为,

，，

，所以，

，

令，，，

所以，当时，即时，取最大值，当时，即时，取最小值；综上：的取值范围为.