Question

已知正方体ABCD-A，B1C1D1中．
（1）求异面直线ABCD与A₁B₁C₁D₁所成角的大小
（2）求证：BD⊥A₁C；
（3）求三棱锥C₁-A₁BD的体积．

Answer 1

（1）连接A₁D，A₁B，知四边形CDA₁B₁是平行四边形
∴A₁D∥B₁C，∴∠A₁DB或其补角是异面直线BD与B₁C所成的角（2分）
又∵A₁D=A₁B=BD=

2

a，∴∠A₁DB=60°（3分）
∴异面直线BD与B₁C所成的角是60°（4分）
（2）证明：由正方体知：⊥

A1A⊥底面ABCD   BD∈底面ABCD

?

A1A⊥BD 又AC⊥BD A1A∩AC=A

?

BD⊥面AA1C A1C?面AA1C

?BD⊥AC₁
（3）V_A-ABD═

1

3

×S_△ABD×AA₁=

1

3

×

1

2

×a×a×a=a³（10分）
V_C-ABD=V_ABCD-_ABCD-4V_A-ABD=a³-4×

1

6

a³=

1

3

a³（12分）