Question

15．点P是曲线y=x²-ln x上任意一点，则点P到直线4x+4y+1=0的最短距离是$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}ln2$．

Answer 1

分析 由题意知，当曲线上过点P的切线和直线4x+4y+1=0平行时，点P到直线4x+4y+1=0的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于-1，可得切点的坐标，此切点到直线4x+4y+1=0的距离即为所求．

解答 解：点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线4x+4y+1=0平行时，
点P到直线4x+4y+1=0的距离最小．
直线4x+4y+1=0的斜率等于-1，
令y=x²-lnx的导数y′=2x-$\frac{1}{x}$=-1，
解得x=-1（舍去），或 x=$\frac{1}{2}$，
故曲线y=x²-lnx上和直线4x+4y+1=0平行的切线经过的切点坐标（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$-ln2），
点（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$-ln2）到直线4x+4y+1=0的距离等于$\frac{|2+1-4ln2+1|}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}ln2$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}ln2$．

点评 本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的几何意义，体现了转化的数学思想．