Question

6．已知函数$f（x）=\frac{a}{3}{x^3}+\frac{b}{2}{x^2}+cx（a≠0）$与g（x）=xlnx．
（1）若f（x）的减区间是（1，3），且f'（x）的最小值为-1求f（x）的解析式；
（2）当a=1，c=2时，若函数ϕ（x）=f'（x）+g（x）有零点，求实数b的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导函数，根据f（x）的减区间是（1，3），且f'（x）的最小值为-1，可得关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b，c的值，则函数解析式可求；
（2）把a=1，c=2代入函数解析式，得到ϕ（x）=f'（x）+g（x），把函数ϕ（x）=f'（x）+g（x）有零点转化为$b=-lnx-x-\frac{2}{x}$在（0，+∞）上有根．利用导数求出h（x）=$-lnx-x-\frac{2}{x}$（x＞0）的最大值得答案．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{a}{3}{x^3}+\frac{b}{2}{x^2}+cx（a≠0）$，得f′（x）=ax²+bx+c．
f（x）的减区间是（1，3），
∴不等式ax²+bx+c＜0的解集为（1，3），又f'（x）的最小值为-1，
则$\left\{\begin{array}{l}{4=-\frac{b}{a}}\\{3=\frac{c}{a}}\\{4a+2b+c=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-2{x}^{2}+3x$；
（2）当a=1，c=2时，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{b}{2}{x}^{2}+2x$，f′（x）=x²+bx+2，
又g（x）=xlnx，
∴ϕ（x）=f'（x）+g（x）=x²+bx+2+xlnx，
函数ϕ（x）=f'（x）+g（x）有零点，即x²+bx+2+xlnx=0在（0，+∞）上有根．
∴$b=-lnx-x-\frac{2}{x}$在（0，+∞）上有根．
令h（x）=$-lnx-x-\frac{2}{x}$（x＞0），h′（x）=$-\frac{1}{x}-1+\frac{2}{{x}^{2}}=\frac{-{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}}$=$\frac{-（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$．
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．
∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴h（x）的极大值也是最大值为h（1）=-3．
又当x→+∞时，h（x）→-∞．
∴b≤-3，则实数b的最大值为-3．

点评 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查利用导数研究函数的单调性，训练了函数零点的判定，是中档题．