Question

5．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₅=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（Ⅱ）记b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+10d=15}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，利用等差数列通项公式，求和公式即可求解
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），累加即可．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+10d=15}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
所以a_n=n（n∈N⁺），${s}_{n}=\frac{{n}^{2}+n}{2}$（n∈N⁺）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），．
则T_nb₁+b₂+b₃+…+b_n=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项、求和公式，考查了裂项求和，属于中档题．