Question

15．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-4x+5，x≤1\\ lnx，x＞1\end{array}\right.$若关于x的方程$f（x）=kx-\frac{1}{2}$恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{1}{2}，\sqrt{e}}）$
• B． $[{\frac{1}{2}，\sqrt{e}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{e}}}{e}}]$
• D． $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{e}}}{e}}）$

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，把方程$f（x）=kx-\frac{1}{2}$恰有四个不相等的实数根转化为函数y=f（x）的图象与y=kx-$\frac{1}{2}$的图象有4个不同交点，数形结合得答案．

解答 解：方程$f（x）=kx-\frac{1}{2}$恰有四个不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象与y=kx-$\frac{1}{2}$的图象有4个不同交点．
如图：

直线y=kx-$\frac{1}{2}$过定点（0，-$\frac{1}{2}$），且过（1，0）时，函数y=f（x）的图象与y=kx-$\frac{1}{2}$的图象有3个不同交点，
此时k=$\frac{-\frac{1}{2}-0}{0-1}=\frac{1}{2}$．
设直线y=kx-$\frac{1}{2}$与y=lnx（x＞1）切于点（x₀，lnx₀），则过该切点的切线方程为y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$．
把（0，-$\frac{1}{2}$）代入切线方程，可得$-\frac{1}{2}-ln{x}_{0}=-1$，解得${x}_{0}=\sqrt{e}$．
∴切点为（$\sqrt{e}，\frac{1}{2}$），则切线斜率为$\frac{1}{\sqrt{e}}$=$\frac{\sqrt{e}}{e}$．
∴方程$f（x）=kx-\frac{1}{2}$恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{e}}{e}）$．
故选：D．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．