Question

6．如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DF的中点．
（I）求证：BE∥平面ACF；
（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦角．

Answer 1

分析 （1）连接BD和AC交于点O，连接OF，证明OF∥BE．然后证明BE∥平面ACF．
（II）以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面BEF的一个法向量，平面BCF的一个法向量，设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ，利用数量积求解即可．

解答 解：（1）连接BD和AC交于点O，连接OF，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点．
因为F为DE的中点，所以OF∥BE．
因为BE?平面ACF，OF?平面AFC，
所以BE∥平面ACF．
（II）因为AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
所以AE⊥CD．
因为ABCD为正方形，所以CD⊥AD．
因为AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
所以CD⊥平面DAE．
因为DE?平面DAE，所以DE⊥CD．
所以以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）．
因为AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，
所以AE⊥CD．
因为AE=DE=2，所以$AD=2\sqrt{2}$．
因为四边形ABCD为正方形，
所以$CD=2\sqrt{2}$，
所以$C（{0，2\sqrt{2}，0}）$．
由四边形ABCD为正方形，
得$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DA}$$+\overrightarrow{DC}$=（2，2$\sqrt{2}$，2），
所以$B（{2，3\sqrt{2}，2}）$．
设平面BEF的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），又知$\overrightarrow{BE}$=（0，-2$\sqrt{2}$，-2），$\overrightarrow{FE}$=（1，0，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{FE}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}{y}_{1}-2{z}_{1}=0}\\{{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，
令y₁=1，得${x_1}=0，{z_1}=-\sqrt{2}$，
所以$\overrightarrow{{n}_{1}}=（0，1，-\sqrt{2}）$．
设平面BCF的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），又知$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，-2），$\overrightarrow{CF}$=（1，-2$\sqrt{2}$，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{2}-2{z}_{2}=0}\\{{x}_{2}-2\sqrt{2}{y}_{2}=0}\end{array}\right.$．
令y₂=1，得${x_2}=2\sqrt{2}，{z_2}=-2\sqrt{2}$，
所以$\overrightarrow{{n}_{2}}=（2\sqrt{2}，1，-2\sqrt{2}）$．
设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ，
又cos$＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{1+4}{\sqrt{3}×\sqrt{17}}$=$\frac{5\sqrt{51}}{51}$．
则$cosθ=\frac{{5\sqrt{51}}}{51}$．
所以平面BCF与平面BEF所成的锐二面角的余弦值为$\frac{{5\sqrt{51}}}{51}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．