Question

10．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意x∈（0，+∞），均有f（x）＜0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由导数的几何意义，可得所求切线的斜率；
（2）求出函数的导数，讨论①当a≥0，②当a＜0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（3）由题意可得a＜-$\frac{lnx}{x}$，设h（x）=-$\frac{lnx}{x}$，求出导数和单调区间，可得极值和最值，进而得到所求a的范围．

解答 解：（1）由f（x）=2x+lnx，导数f′（x）=2+$\frac{1}{x}$（x＞0），
可得f′（1）=2+1=3，
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；
（2）f′（x）=a+$\frac{1}{x}$（x＞0）=$\frac{ax+1}{x}$，
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，
所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，由f′（x）=0，得x=-$\frac{1}{a}$．
在区间（0，-$\frac{1}{a}$）上，f′（x）＞0，在区间（-$\frac{1}{a}$，+∞）上f′（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，-$\frac{1}{a}$），单调递减区间为（-$\frac{1}{a}$，+∞）．
（3）对任意x∈（0，+∞），均有f（x）＜0，
则有a＜-$\frac{lnx}{x}$，
设h（x）=-$\frac{lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0得x=e，
当0＜x＜e 时，h′（x）＜0，则h（x）单调递减；
当x＞e时，h′（x）＞0，则h（x）单调递增，
所以h（x）_min=h（e）=-$\frac{1}{e}$，
 可得a＜-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，极值和最值，考查分类讨论的思想方法，参数分离的方法，和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．