Question

7．已知x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}y+1≥0}\\{x+y≤2}\\{x-2y≤2}\end{array}\right.$，若z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，则实数m的值为（　　）

• A． 1或-$\frac{1}{2}$
• B． 1或-2
• C． -1或-2
• D． -2或-$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}y+1≥0}\\{x+y≤2}\\{x-2y≤2}\end{array}\right.$对应的平面区域如图：（阴影部分mBC）．
由z=mx+y得y=-mx+z，即直线的截距最大，z也最大．
若m＜0，目标函数y=-mx+z的斜率k=-m＞0，要使z=mx+y取得最大值的最优解不唯一，
则直线z=mx+y与直线x-$\frac{1}{2}$y+1=0平行，此时m=-2，
若m＞0，目标函数y=-mx+z的斜率k=-m＜0，要使z=y-mx取得最大值的最优解不唯一，
则直线z=mx+y与直线x+y-2=0，平行，此时m=1，
综上m=-2或m=1，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论．