Question

16．已知函数f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{4}$，a=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），利用三角函数周期公式即可计算得解．
（II）由已知可求sin（A+$\frac{π}{3}$）=1，结合范围A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），解得A，C的值，利用正弦定理可求b的值，根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（I）∵f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（II）∵f（$\frac{A}{2}$）=$\frac{1}{2}$sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，可得：sin（A+$\frac{π}{3}$）=1，
∵A∈（0，π），可得：A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
∴A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，可得：A=$\frac{π}{6}$，
∴b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，C=π-A-B=$\frac{7π}{12}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×$1×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．