【题目】在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n .
(1)设bn= .证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn .
【答案】
(1)解:由an+1=2an+2n.两边同除以2n得
∴ ,即bn+1﹣bn=1
∴{bn}以1为首项,1为公差的等差数列
(2)解:由(1)得
∴an=n2n﹣1
Sn=20+2×21+3×22+…+n2n﹣1
2Sn=21+2×22+…+(n﹣1)2n﹣1+n2n
∴﹣Sn=20+21+22+…+2n﹣1﹣n2n
=
∴Sn=(n﹣1)2n+1
【解析】(1)由an+1=2an+2n构造可得 即数列{bn}为等差数列(2)由(1)可求 =n,从而可得an=n2n﹣1 利用错位相减求数列{an}的和
【考点精析】解答此题的关键在于理解等差关系的确定的相关知识,掌握如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即-=d ,(n≥2,n∈N)那么这个数列就叫做等差数列,以及对数列的前n项和的理解,了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系.
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【题目】假设小明订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到,小明离家的时间在早上7:00—8:00之间,则他在离开家之前能拿到报纸的概率( )
A. B. C. D.
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【题目】已知以点A(﹣1,2)为圆心的圆与直线m:x+2y+7=0相切,过点B(﹣2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点
(1)求圆A的方程.
(2)当|MN|=2 时,求直线l方程.
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【题目】如图,在棱台中, 与分别是棱长为1与2的正三角形,平面平面,四边形为直角梯形, , , 为中点, .
(Ⅰ)是否存在实数使得平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)在 (Ⅰ)的条件下,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】设是正项数列的前项和,且.
(Ⅰ)求数列通项公式;
(Ⅱ)是否存在等比数列,使对一切正整数都成立?并证明你的结论.
(Ⅲ)设(),且数列的前项和为,试比较与的大小.
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【题目】有下列四个说法:
①若函数f(x)=asinx+cosx(x∈R)的图象关于直线x= 对称,则a= ;
②已知向量 =(1,2), =(﹣2,m),若 与 的夹角为钝角,则m<1;
③当 <α< 时,函数f(x)=sinx﹣logax有三个零点;
④函数f(x)=xsinx在[﹣ ,0]上单调递减,在[0, ]上单调递增.
其中正确的是(填上所有正确说法的序号)
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【题目】将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,则函数y=ax2﹣2bx+1在(﹣∞,2]上为减函数的概率是 .
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【题目】(12分)
在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx–2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
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