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    【题目】设是正项数列的前项和，且.

    （Ⅰ）求数列通项公式；

    （Ⅱ）是否存在等比数列，使对一切正整数都成立？并证明你的结论.

    （Ⅲ）设（），且数列的前项和为，试比较与的大小.

    【答案】（1）（2）见解析（3）见解析

    【解析】试题分析：由的表达式求通项公式，利用时， ，转化为关于的关系式，把一般数列转化为特殊数列，求出通项公式；对于同样的办法求出，借助求出，并证明.求出，利用错位相加法求出前项和并比较大小.

    试题解析：（Ⅰ）由

    得，

    相减并整理得

    又由于，

    则，故是等差数列．

    因为 ，

    所以

    故．

    （Ⅱ）当，2时， ， ，

    可解得， ，

    猜想 使 成立．

    证明： 恒成立．

    令 ……①

    ……②

    ②﹣①得：

    ，

    故存在等比数列符合题意．

    （Ⅲ）

    则

    故．

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