Question

19．已知二次函数f（x）=ax²-bx+1，A={x|1≤x≤3}，B={x|1≤x≤4}
（1）若a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求函数y=f（x）有零点的概率．
（Ⅱ）若a是从集合A中任取的一个实数，b是从集合A中任取的一个实数，求关于x的方程f（x）=0一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内的概率．

Answer 1

分析 （1）求出a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数的所有结果，以及使函数y=f（x）有零点的所有结果，利用古典概型公式解答；
（2）由题意试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤4}，构成事件A的区域为{（a，b）|a-b+1＜0，4a-2b+1＞0}．利用面积比求概率．

解答 解：（1）（a，b）共有12种情况．
函数y=f（x）有零点，△=b²-4a≥0，
有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况
所以函数y=f（x）有零点的概率为$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$．
（2）设事件A为“关于x的方程f（x）=0一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内”．
试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤3，1≤b≤4}．
构成事件A的区域为{（a，b）|a-b+1＜0，4a-2b+1＞0}．
所以所求的概率为=$1-\frac{{\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{3}{4}+\frac{1}{2}（1+3）×2}}{3×2}=\frac{23}{96}$．

点评 本题考查了概率求法；关键是明确概率模型是古典概型还是几何概型，然后利用相关的公式解答．