Question

9．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是$\frac{2}{3}$，则a=1，该几何体的表面积为$3+\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，根据它的体积是$\frac{2}{3}$，求出a值，再计算各个面的面积，相加可得答案．

解答 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，
其直观图如图所示：
其底面面积S=a²，高SA=2，
故它的体积V=$\frac{1}{3}S•SA$=$\frac{2}{3}{a}^{2}$=$\frac{2}{3}$，
解得：a=1，
则底面面积S=1，
侧面S_△SAD=S_△SAB=$\frac{1}{2}×2×1=1$，
侧面S_△SCD=S_△SCB=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×1=1$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故几何体的表面积为：1+2×1+2×$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$3+\sqrt{5}$，
故答案为：1；$3+\sqrt{5}$

点评 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．