Question

19．已知函数$f（x）=5sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{7}{2}$
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）当$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由正弦函数的单调区间的公式，解关于x的不等式，即可得到函数的单调减区间；
（2）结合正弦函数在$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$上的单调性，求出函数的最大值与最小值，即可得到此时函数的值域．

解答 解：（1）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤$2x+\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ（k∈Z），
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ（k∈Z），
∴函数的单调减区间为[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]（k∈Z）；
（2）∵$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，可得$\frac{π}{3}$≤2x≤π，
∴$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴当$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，函数$f（x）=5sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{7}{2}$的最小值为5sin$\frac{7π}{6}$+$\frac{7}{2}$=1；
当$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数$f（x）=5sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{7}{2}$的最大值为5+$\frac{7}{2}$=$\frac{17}{2}$；
函数f（x）的值域为[1，$\frac{17}{2}$]．

点评 本题主要考查函数的单调区间并求闭区间上的值域．着重考查了三角函数的图象与性质、函数的值域求法等知识，属于中档题．