Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（-$\sqrt{3}$sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上最大值与最小值．

Answer 1

分析 由已知得到函数解析式，利用三角函数公式化简为最简形式，然后利用三角函数的性质求周期和最值．

解答 解：由已知得到函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=cosx（-$\sqrt{3}$sinx）-$\frac{1}{2}$cos2x=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x$-\frac{1}{2}$cos2x=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
所以（1）f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}=π$；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，-sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
所以函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上最大值是$\frac{1}{2}$，最小值-1．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式以及三角函数式的化简与性质运用；比较基础但是经常考查．