Question

17．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为135°的直线，交抛物线于A，B两点，则△OAB的面积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}{p^2}$
• B． $\sqrt{2}{p^2}$
• C． p²
• D． 2p²

Answer 1

分析 写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．

解答 解：弦AB的方程y=-x+$\frac{p}{2}$，把它与y²=2px联立得关于y的一元二次方程y²+2py-p²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-2p，y₁y₂=-p²．
∴S_△OAB=S_△OAF+S_△OFB=$\frac{p}{4}$|y₁-y₂|=$\frac{p}{4}$×$\sqrt{4{p}^{2}+4{p}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}{p}^{2}$
故选：A．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．