Question

2．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），三个数sinα+$\frac{4}{cosα}$，cosα+$\frac{4}{tanα}$，tanα+$\frac{4}{sinα}$中（　　）

• A． 都小于$\frac{14}{3}$
• B． 至少一个大于或等于$\frac{14}{3}$
• C． 都大于或等于4
• D． 至多一个大于5

Answer 1

分析 由α∈（0，$\frac{π}{2}$），则sinα、cosα∈（0，1），tanα∈（0，+∞），将三个数相加，运用基本不等式和函数y=ax+$\frac{b}{x}$的性质，即可判断．

解答 解：由α∈（0，$\frac{π}{2}$），
则sinα、cosα∈（0，1），tanα∈（0，+∞），
由sinα+$\frac{4}{cosα}$+cosα+$\frac{4}{tanα}$+tanα+$\frac{4}{sinα}$
=（sinα+$\frac{4}{sinα}$）+（cosα+$\frac{4}{cosα}$）+（tanα+$\frac{4}{tanα}$）＞（1+4）+（1+4）+2$\sqrt{tanα•\frac{4}{tanα}}$=14，
即有三个数sinα+$\frac{4}{cosα}$，cosα+$\frac{4}{tanα}$，tanα+$\frac{4}{sinα}$中
至少一个大于或等于$\frac{14}{3}$．
故选B．

点评 本题考查三角函数的求值，基本不等式的运用和函数y=ax+$\frac{b}{x}$的性质的运用，属于中档题．