Question

设平面上不在一条直线上的三个点为O，A，B，当实数p，q满足

1

p

+

1

q

=1时，则连接p

OA

，q

OB

两个向量终点的直线是否通过一个定点？并证明你的结论．

Answer 1

考点：过两条直线交点的直线系方程

专题：空间向量及应用

分析：先给出判断，然后给出证明：设M是连接p

OA

，q

OB

两个向量终点的直线上的动点，得到

OM

-p

OA

=t（q

OB

-p

OA

），其中t为参数，代入p，q化简求解．

解答：解：结论：连接p

OA

，q

OB

两个向量终点的直线过定点，
证明如下：
设

OC

=

OA

+

OB

，则C为定点，
设M是连接p

OA

，q

OB

两个向量终点的直线上的动点，则

OM

-p

OA

=t（q

OB

-p

OA

），其中t为参数，
∵

1

p

+

1

q

=1，
∴q=

p

p-1

，
∴

OM

=p

OA

+t（

p

p-1

OB

-p

OA

）=p

OA

+

tp

p-1

×（

OB

+

OA

-p

OA

），
当t=

p-1

p

时，

OM

=

OA

+

OB

=

OC

，
∴连接p

OA

，q

OB

两个向量终点的直线过定点C．

点评：本题考查空间点线面的位置关系，利用向量法求解可以简化计算．