Question

16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（x₁，y₁）在曲线C₁：y=x²-lnx上，点B（x₂，y₂）在直线x-y-2=0上，则${{（x}_{2}{-x}_{1}）}^{2}$+${{（y}_{2}{-y}_{1}）}^{2}$的最小值为2．

Answer 1

分析 求出曲线C₁：y=x²-lnx与直线x-y-2=0平行的切线的方程，即可得出结论．

解答 解：∵y=x²-lnx，∴y′=2x-$\frac{1}{x}$（x＞0），
由2x-$\frac{1}{x}$=1，可得x=1，此时y=1，
∴曲线C₁：y=x²-lnx在（1，1）处的切线方程为y-1=x-1，即x-y=0，
与直线x-y-2=0的距离为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴${{（x}_{2}{-x}_{1}）}^{2}$+${{（y}_{2}{-y}_{1}）}^{2}$的最小值为2．
故答案为2．

点评 本题考查两点间距离的计算，考查导数知识的运用，求出曲线C₁：y=x²-lnx与直线x-y-2=0平行的切线的方程是关键．