Question

如图，已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上两定点P(-2，0)，Q(1，

3

2

)，直线l：y=-

1

2

x+m与椭圆相交于A，B两点（异于P，Q两点）
（1）求证：k_PA+k_QB为定值；
（2）当m∈（-1，2）时，求A、P、B、Q四点围成的四边形面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）因为直线l与椭圆交于A，B两点，所以设出A，B点的坐标，用A，B，P，Q的坐标表示k_PA与k_QB，因为A，B坐标为直线与椭圆方程联立组成的方程组的解，求出x₁+x₂，x₁x₂，代入，k_PA+k_QB，化简，即为定值．
（2）直线AB把四边形APBQ分成两个三角形，两个三角形都可看做以线段AB为底边，分别以P，Q到AB的距离为高的三角形，用弦长公式求出|AB|长，点到直线的距离公式求出P，Q到AB的距离，再代入三角形面积公式即可．

解答：解：（1）设A（x₁，y&₁），B（x₂，y₂），
联立直线与椭圆的方程

x2 4 + y2 3 =1 y=- 1 2 x+m

⇒4x2-4mx+4m2-12=0⇒

x1x2=m2-3 x1+x2=m

∴kPA+kQB=

y1-0

x1+2

+

y2- 3 2

x2-1

=

y1(x2-1)+(y2- 3 2 )(x1+2)

(x1+2)(x2-1)

用y1=-

1

2

x1+m，y2=-

1

2

x2+m代入可得kPA+kQB=

- 1 2 x1x2+ 1 2 x1+mx2-m- 1 2 x1x2-x2+mx1+2m- 3 2 x1-3

(x1+2)(x2-1)

=

-x1x2+(m-1)(x2+x1)+m-3

(x1+2)(x2-1)

=0
（2）SAPBQ=

1

2

|AB|×|hP+hQ|=

5

4

12-3m2

|

|-2-2m|

5

+

|4-2m|

5

|
∵P，Q在直线l两侧
∴SAPBQ=

5

4

12-3m2

•

6

5

当m=0时∴SAPBQ=3

3

为其面积的最大值．

点评：本题主要考查了直线与椭圆相交，弦长公式，点到直线的距离公式，韦达定理等的综合应用．