Question

（2010•武昌区模拟）如图，已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点为F，过F的直线（非x轴）交椭圆于M、N两点，右准线l交x轴于点K，左顶点为A．
（1）求证：KF平分∠MKN；
（2）直线AM、AN分别交准线l于点P、Q，设直线MN的倾斜角为θ，试用θ表示线段PQ的长度|PQ|，并求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）法一：几何法，分别过M和N点作准线的垂线，并设出对应的垂足，根据直角梯形列出比例关系，再由椭圆的第二定义，将到焦点的距离之比转化到对应准线的距离之比，判断出∠KMM₁=∠KNN₁，再由内错角相等得到∠MKF=∠NKF，即得到证明；
法二：代数法，根据题意设直线MN的方程为x=my+1，再设出点M、N的坐标，联立直线和椭圆的方程，消去x得到关于y的一个二次方程，根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，再代入斜率公式，进行证明；
（2）由题意求出点A和右准线的方程，并设出四点M、N、P和Q的坐标，根据A，M，P三点共线得到对应的斜率相等，求出点P和Q的坐标，联立直线和椭圆的方程，消去x得到关于y的一个二次方程，根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，再代入两点之间的距离公式，化简后用m表示|PQ|，再把m用cotθ表示，利用三角恒等变换公式和θ∈（0，π），求出最小值．

解答：解：（1）法一：作MM₁⊥l于M₁，
NN₁⊥l于N₁，则

|MF|

|NF|

=

|M1K|

|N1K|

，
由椭圆的第二定义，有

|MF|

|NF|

=

|M1M|

|N1N|

，
∴

|N1K|

|NN1|

=

|M1K|

|MM1|

，
∴∠KMM₁=∠KNN₁，即∠MKF=∠NKF，
∴KF平分∠MKN．
法二：设直线MN的方程为x=my+1，
设M、N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

得，（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

设KM和KN的斜率分别为k₁，k₂，显然只需证k₁+k₂=0即可．
∵K（4，0），∴k1+k2=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

x2y1+x1y2-4(y1+y2)

(x1-4)(x2-4)

而x₂y₁+x₁y₂-4（y₁+y₂）=（my₂+1）y₁+（my₁+1）y₂-4（y₁+y₂）
=2my1y2-3(y1+y2)=2m•

-9

3m2+4

-3•

-6m

3m2+4

=0，
即k₁+k₂=0得证，故KF平分∠MKN．
（2）设M、N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由题意知，A（-2，0），右准线的方程：x=

a2

c

=4，
故令P（4，y_p），Q（4，y_q），
∵A，M，P三点共线，∴k_AP=k_AM，即

yp-0

4+2

=

y1-0

x1+2

，得y_p=

6y1

2+x1

，即P点为(4，

6y1

2+x1

)
由A，N，Q三点共线，同理可求出Q点为(4，

6y2

2+x2

)，
设直线MN的方程为x=my+1．由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

得，（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

，

则|PQ|=

6y1

2+x1

-

6y2

2+x2

=

6[2(y1-y2)+x2y1-x1y2]

4+2(x1+x2)+x1x2

=

18(y1-y2)

m2y1y2+3m(y1+y2)+9

=

18 ( 6m 3m2+4 )2+ 36 3m2+4

m2• -9 3m2+4 +3m• -6m 3m2+4 +9

=6

1+m2

又∵直线MN的倾斜角为θ，则m=cotθ，θ∈（0，π），
∴|PQ|=6

1+cot2θ

=

6

sinθ

，
∴θ=

π

2

时，|PQ|_min=6．

点评：本题主要考查了直线与椭圆的综合问题，两点间的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查了学生解决问题的能力和运算能力．