Question

（本小题满分12分）已知函数（）．

(1)讨论的单调性；

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）；

(3)求证（，）．

Answer 1

(1)当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；(2)对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）恒成立，（2）恒成立；（3）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.

试题解析：（1） ,

当时，的单调增区间为，单调减区间为； 3分

当时，的单调增区间为，单调减区间为； 4分

（2）令

若,, 是增函数,

无解. 5分

若,，,是减函数;, 是增函数 ,

.

6分

若，， 是减函数,

， 7分

综上所述 8分

（3）令（或）此时，所以，

由（Ⅰ）知在上单调递增，∴当时，即，∴对一切成立， 9分

∵，则有， 10分

要证

只需证 11分

所以原不等式成立 12分

考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、恒成立的问题；3、证明不等式.