Question

【题目】如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F．过点P（2，0）的直线交抛物线于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．

（1）求y1y2的值；
（2）记直线MN的斜率为k1 ， 直线AB的斜率为k2 ． 证明： 为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，设直线AB的方程为x=my+2

将其代入y2=4x，消去x，整理得 y2﹣4my﹣8=0．

从而y1y2=﹣8．

（2）证明：设M（x3，y3），N（x4，y4）．

则 = × = × = ．

设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，

整理得y2﹣4ny﹣4=0．

所以y1y3=﹣4．

同理可得 y2y4=﹣4

故 = = = ．

由（1）得 =2，为定值．

【解析】（1）依题意，设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得y1y2；（2）设M（x3 ， y3），N（x4 ， y4），设直线AM的方程为x=ny+1，将其代入y2=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，从而得y1y3=﹣4，同理可得 y2y4=﹣4，根据斜率公式可把 表示成关于y1与y2的表达式，再借助（1）的结果即可证明．