Question

【题目】如图，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，．

（I）求证：；

（II）求多面体的体积.

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）取BC的中点，证明四边形为平行四边形，可得∥，从而可得∥平面，再证明∥面A1C1C，利用面面平行的判定，可得平面∥平面，从而可得AB1∥面A1C1C；
（Ⅱ）先证明CD⊥平面ADC1A1，于是多面体ABC-A1B1C1是由直三棱柱ABD-A1B1C1和四棱锥C-ADC1A1组成的，即可得出结论．

试题解析：

（Ⅰ）取中点，连，

∥

∥，∥

四边形是平行四边形

∥，∥

又平面，平面

∥平面

在正方形中，∥，∥，

四边形为平行四边形

∥

又平面，平面

∥平面

，平面∥平面

又平面

∥平面.

（Ⅱ）在正方形中，，又是等边三角形，所以，

所以

于是

又，平面，

又，平面

于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成的.

又直三棱柱的体积为，

四棱锥的体积为，

故多面体的体积为.