Question

已知函数f（x）=e^x-ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x²＜e^x；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞）时，恒有x＜ce^x．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；
（2）构造函数g（x）=e^x-x²，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；
（3）利用（2）的结论，令x₀=

1

c

，则e^x＞x²＞

1

c

x，即x＜ce^x．即得结论成立．

解答： 解：（1）由f（x）=e^x-ax得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，
∴f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=0得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4．
f（x）无极大值．

（2）令g（x）=e^x-x²，则g′（x）=e^x-2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x²＜e^x；

（3）对任意给定的正数c，总存在x₀=

1

c

＞0．当x∈（x₀，+∞）时，
由（2）得e^x＞x²＞

1

c

x，即x＜ce^x．
∴对任意给定的正数c，总存在x₀，使得当x∈（x₀，+∞）时，恒有x＜ce^x．

点评：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．