Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A₁在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC₁=2．
（Ⅰ）证明：AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）设直线AA₁与平面BCC₁B₁的距离为

3

，求二面角A₁-AB-C的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知数据结合三垂线定理可得；
（Ⅱ）作辅助线可证∠A₁FD为二面角A₁-AB-C的平面角，解三角形由反三角函数可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵A₁D⊥平面ABC，A₁D?平面AA₁C₁C，
∴平面AA₁C₁C⊥平面ABC，又BC⊥AC
∴BC⊥平面AA₁C₁C，连结A₁C，
由侧面AA₁C₁C为菱形可得AC₁⊥A₁C，
由三垂线定理可得AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）∵BC⊥平面AA₁C₁C，BC?平面BCC₁B₁，
∴平面AA₁C₁C⊥平面BCC₁B₁，
作A₁E⊥CC₁，E为垂足，可得A₁E⊥平面BCC₁B₁，
又直线AA₁∥平面BCC₁B₁，
∴A₁E为直线AA₁与平面BCC₁B₁的距离，即A₁E=

3

，
∵A₁C为∠ACC₁的平分线，∴A₁D=A₁E=

3

，
作DF⊥AB，F为垂足，连结A₁F，
由三垂线定理可得A₁F⊥AB，
∴∠A₁FD为二面角A₁-AB-C的平面角，
由AD=

AA12-A1D2

=1可知D为AC中点，
∴DF=

1

2

×

AC×BC

AB

=

5

5

，
∴tan∠A₁FD=

A1D

DF

=

15

，
∴二面角A₁-AB-C的大小为arctan

15

点评：本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．